1 背景
有时需要进行高精度的正余弦函数计算，这时就需要正余弦的计算方式。
2 正弦函数计算
2.1 函数展开
对于正弦函数，存在如下展开形式
(1)
$$
\sin(z)=\dfrac{z}{1+\dfrac{z^2}{6-z^2+\dfrac{6z^2}{20-z^2+\dfrac{20z^2}{42-z^2+\dfrac{42z^2}{72-z^2+\dfrac{72z^2}{110-z^2+\dfrac{110z^2}{156-z^2+…}}}}}}}
$$
很明显，上面\(z\)趋近0时，收敛速度才快一些。公式里\(6、20、42、72、110\)对应的表达式为 \(2i(2i+1)\) 时 \(i=1、2、3、4、5、…\)。
2.2 性质
对于正弦函数，有如下性质
(2)
$$
\sin(x)=3\sin(\dfrac{x}{3})-4\sin^3(\dfrac{x}{3})
$$
由于\(\sin\)函数为\(2\pi\)的周期函数，因此这里考虑\(x\)在\((-\pi/2,\pi/2)\)取值计算。则总存在如下一个整数\(n\)，使得\(z\)值接近0
(3)
$$
z = \dfrac{x}{3^n}
$$
这里约定\(n\)按如下形式取值
(4)$$
\dfrac{|x|}{3^n}<\dfrac{1}{3^{31}}
$$
2.3 截断
在使用(1)式进行迭代时，需要进行项数\(m\)截断。对于10进制下有效位位数为\(p\)的情况下，使用如下经验公式计算\(m\)
(5)$$
m =\lfloor 1.02497850806725+0.02956390486989p \rfloor
$$
2.4 算法
最终使用如下步骤计算\(\sin(x)\):
① 根据(4)找到一个最小\(n\)使得\(|z|<\dfrac{1}{3^{31}}\)。
② 根据有效位\(p\)，根据(5)计算截断项数\(m\)。
③ 设 \(y_m=1\)。
④ 循环计算 \(y_i = 2i(2i+1)-z^2+\dfrac{2i(2i+1)z^2}{y_{i+1}}\)，这里 \(i=m-1,m-2,…,1\)。
⑤ 设 \(r_0 = \dfrac{z}{1+\dfrac{z^2}{y_1}}\)。
⑥ 循环计算 \(r_i=3\sin(r_{i-1})-4\sin^3(r_{i-1})\)，这里\(i=1,2,3,…,n\)。
⑦ 返回 \(\sin(x)=r_n\)。
3 余弦函数计算
第2部分给出了正弦函数计算方式，而余弦函数可以通过如下方式进行计算
(4)
$$
\cos(x)=1-2\sin^2(\dfrac{x}{2})
$$