PS：这篇文章来自于2011年我写在网易博客上的内容，由于网易博客现已关闭，因此特把此文章搬迁到这里，供有缘人参考，指正！
提醒:当你某一天发现同一个复数领域内的算式表达得出不同的结果的时候,请不要太过怀疑,因为这就是复数的多值性!
已知:
1
这里设\(x\)、\(y\)、\(m\)、\(n\)为实数，\(i\)表示虚数单位，即\(i = \sqrt{-1}\)
$$
\begin{aligned}
A &= x + yi\\
&= e^{a + \psi i}\\
&=|A|e^{\psi i}\\
&=|A|(\cos \psi + \sin \psi i)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
B &= m + ni\\
&= e^{b + \beta i}\\
&=|B|e^{\beta i}\\
&=|B|(\cos \beta + sin \beta i)
\end{aligned}
$$
其中
$$
|A| = e^a = \sqrt{x^2+y^2}, a = \ln(|A|), \psi =\arctan(y/x)\\
|B| = e^b = \sqrt{m^2+n^2}, b = \ln(|B|), \beta = \arctan(n/m)
$$
2
以\(A\)为例，\(|A|\)叫做复数\(A\)的模，\(\psi\)为复数\(A\)的复角，一般把\(-\pi < \psi < \pi\)的值叫做主值，此时定义\(arg(A)=\psi\)，当\(A \neq 0\)的时候，主值由如下方式确定
(1)、当\(x > 0\)时,\(\psi = \arctan(y/x)\)
(2)、当\(x=0,y>0\)时,\(\psi =\frac{\pi}{2}\)
(3)、当\(x=0,y<0\)时,\(\psi =-\frac{\pi}{2}\)
(4)、当\(x<0,y \geqslant 0\)时,\(\psi =\arctan(y/x)+\pi\)
(5)、当\(x<0,y<0\)时,\(\psi =\arctan(y/x)-\pi\)
基本运算:
注意，下面的最后的结果都会变成\(x +yi\)的形式)
$$
A+B=(x+m)+(y+n)i\\
A-B=(x-m)+(y-n)i
$$
$$
\begin{aligned}
AB &= (x+yi)(m+ni)\\
&= xm+xni+ymi+ynii\\
&=(xm-yn)+(xn+ym)i
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\frac{A}{B} &= \frac{x+yi}{m+ni}\\
&= \frac{(x+yi)(m-ni)}{(m+mi)(m-ni)}\\
&=\frac{(xm+yn)+(ym-xn)}{m^2+n^2}\\
&=\frac{xm+yn}{m^2+n^2}+\frac{ym-xn}{m^2+n^2}i
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
\log(A) &=\log(|A|e^{\psi i})\\
&=\log(|A|)+\log(e^{\psi i})\\
&=\frac{\log(x^2+y^2)}{2}+\psi i\\
&=\log(|A|)+\mathbf{arg}(A)i
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
A^B &= (e^{a+\psi i})^{m+ni}\\
&=e^{(a+\psi i)(m+ni)}\\
&=e^{(am-\psi n)+(an+\psi m)i}\\
&=e^{(am-\psi n)}e^{(an+\psi m)i}\\
&=e^{(am-\psi n)}(\cos(an+\psi m)+\sin(an+\psi m)i)\\
&=e^{(am-\psi n)}\cos(an+\psi m)+e^{(am-\psi n)}\sin(an+\psi m)i
\end{aligned}
$$
对于\(A^{0.5} = \sqrt(A)\)这种特殊情况，由于开方在一些计算中调用频繁，因此不建议直接使用上面求次方的方式进行计算，而建议直接使用下面提到的算法。
设\(B=\sqrt{A}\)，即\(A=B^2\)可以通过对于表达式最终反求出结果，这里就不贴过程，直接给出答案
$$
\sqrt{A}=\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}+x}{2}} + \mathbf{sign}(y)\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{2}}i
$$
注意，本文在在上面公式中，当\(y<0\)时，\(\mathbf{sign}(y)=-1\)；当\(y=0\)时，\(\mathbf{sign}(y)=0\)；当\(y>0\)时，\(\mathbf{sign}(y)=1\)
$$
\sin(A)=\frac{e^{Ai}-e^{-Ai}}{2i}
$$
$$
\cos(A)=\frac{e^{Ai}+e^{-Ai}}{2}
$$
$$
\tan(A)= \frac{\sin(A)}{\cos(A)}
$$
$$
\cot(A)= \frac{\cos(A)}{\sin(A)}
$$
$$
\sec(A)=\frac{1}{\cos(A)}
$$
$$
\csc(A)=\frac{1}{\sin(A)}
$$
$$
\sinh(A)=\frac{e^A-e^{-A}}{2}
$$
$$
\cosh(A)=\frac{e^A+e^{-A}}{2}
$$
$$
\tanh(A)=\frac{\sinh(A)}{\cosh(A)}
$$
$$
\coth(A)=\frac{\cosh(A)}{\sinh(A)}
$$
$$
\ln_B(A)=\frac{\ln(A)}{\ln(B)}
$$
$$
\begin{aligned}
\arcsin(A)&=-\log(Ai+\sqrt{1-A^2})i
\\
\\
\arccos(A)&=-\log(A+\sqrt{A^2-1})i
\\
\\
\arctan(A)&=-\dfrac{1}{2}\log(\dfrac{1+Ai}{1-Ai})i
\\
\\
\mathbf{arccot}(A)&=-\dfrac{1}{2}\log(\dfrac{Ai-1}{Ai+1})i
\\
\\
\mathbf{arcsinh}(A)&=\log(A+\sqrt{1+A^2})
\\
\\
\mathbf{arccosh}(A)&=\log(A+\sqrt{A^2-1})
\\
\\
\mathbf{arctanh}(A)&=\dfrac{1}{2}\log(\dfrac{1+A}{1-A})
\\
\\
\mathbf{arccoth}(A)&=\dfrac{1}{2}\log(\dfrac{A+1}{A-1})
\end{aligned}
$$
地震来了，公式更新延后