月度归档： 2024年5月

1 背景
在实际生活中，我们可能会遇到一些借贷问题。比如，车贷、房贷、民间借贷，或者银行存储利率问题。我们可能是借方，也可能是被借方，这些都涉及到利率的计算。因此，研究简单的借贷模型，获得对应利率，方便我们作参考。

2 理论
2.1 约定
这里在介绍利率之前，这里取一年为365天，约定日利$r_d$、月利$r_m$、年利$r_y$之间以复利的关系进行转换，即它们存在如下关系:  
(2.1-1)
$$\begin{cases} r_m&=(1+r_d)^{365/12}-1 \\ r_y&=(1+r_d)^{365}-1 \\ r_y&=(1+r_m)^{12}-1 \\ \\ r_m&=\exp(\dfrac{1}{12}\ln(1+r_y))-1 \\ \\ r_d&=\exp(\dfrac{1}{365}\ln(1+r_y))-1 \end{cases}$$

注意,有些地方并没有使用复利进行转换。比如月息1%,不考虑复利时对应年息为12%, 而考虑复利时对应年息是12.682503013197%, 由于大部分场景考虑复利获利, 因此本文使用复利转换方式。

2.2 利率模型
借贷模型可以等价描述为: A向B借款$s$元, 借款月利为$r$, 借款期限为$n$个月, 每个月还款依次为$a_1、a_2、a_3……a_{n-1}、a_n$，直到还完。

对于上面这个数学模型,可以看成A向B借了$n$份钱,每一份钱在同利率$r$情况下，单独签订对应月份数进行还款。因此，这里可以设每份借的钱分别为$b_i$，其中第$i$份钱只借$i$个月。因此可以建立如下数学模型:  
(2.2-1)
$$\begin{cases} s&=\sum_{i=1}^nb_i \\ a_i&=b_i(1+r)^i \end{cases}$$
这里设$x=1+r$,对(2.2-1)变形有  
(2.2-2)
$$a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+…+a_{n-1}x+a_n=sx^n$$
很明显,(2.2-2)是一元$n$次多项式求解,这已经有成熟的算法,可以直接求得$x$，进而求得利率 $r=x-1$，以及第$i$份钱的本金$b_i$，以及第$i$个月累计还的本金$S_i$和累计还的利息$I_i$:

(2.2-3)
$$\begin{cases} b_i&=\dfrac{a_i}{x^i} \\ S_i&=\sum_{j=1}^ib_j \\ I_i&=\sum_{j=1}^i(a_j-b_j) \end{cases}$$

注意：①这里描述的借贷按月进行处理，对于日或者年借贷模型一致；②大部分借贷都适用上面的2.2的数学模型，实际使用中可以使用这个模型等效探知借贷利率，以及每个期间本金与利息情况；③在实际使用时，可考虑将服务费等一并额外费用算在借贷金额里。

2.3 等额本息
等额本息，是每个月还款固定的一种还款方式。如果每个月固定还款为$a$元，因此只需要在2.2的模型里设置 $a_1=a_2=…=a_n=a$ 即可求解，代入(2.2-2)可以等效求解如下方程  
(2.3-1)
$$a\dfrac{1-x^n}{1-x}=sx^n$$

2.4 等额本金
等额本金是指在还款期内把贷款数总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息，因此只需要在2.2的模型里设置 $a_i=\dfrac{s}{n}+\dfrac{s}{n}(n+1-i)r$ 即可求解，由于总额和每个月还款总数已知，这时(2.2-2)方程对任意值均成立，因此为了求解，使用如下方式求得利率  
(2.4-1)
$$r=\dfrac{1}{n+1-i}(\dfrac{na_i}{s}-1)$$

3 例子
3.1 借贷案例1
A向B借款10万元,借期为3年。A向B承诺, 每个月固定给1000元利息给B, 3年期间总共会给利息3.6万元, 到期后向B返还本金10万。请问, A向B借款实际利率为多少?

这个案例中,套入2.2的模型可以得到如下参数  
(3.1)
$$\begin{cases} s&=100000 \\ a_1&=1000 \\ a_2&=1000 \\ … \\ a_{35}&=1000 \\ a_{36}&=100000+1000 \end{cases}$$
将(3.1)代入(2.2)可以得到月息 $r_m=1\%$, 年息为 $r_y=12.682503013197\%$。

3.2 借贷案例2
A向B借款10万元,借期为3年。A向B承诺, 按每个月1000元的利息计算, 利息在借款到期后一并结算, 3年期间总共产生利息3.6万元, 到期后向B返还本金10万以及支付3.6万利息。请问, A向B借款实际利率为多少?

这个案例中,套入2.2的模型可以得到如下参数  
(3.2)
$$\begin{cases} s&=100000 \\ a_1&=0 \\ a_2&=0 \\ … \\ a_{35}&=0 \\ a_{36}&=100000+36000 \end{cases}$$
将(3.2)代入(2.2)可以得到月息 $r_m=0.85778221376\%$, 年息为 $r_y=10.793165135089\%$。

从3.2可以发现,相同借款金额,利息提前还与否实际利率有一定差异。

3.3 借贷案例3
A向B借款10000元,借期为6个月。因为一些原因, A实际到手金额为9600元, A后续6个月每个月实际还款金额分别为2000元、2000元、2000元、2000元、1000元、1000元。
请问, A向B借款实际利率为多少?
这个案例中,套入2.2的模型可以得到如下参数  
(3.3)
$$\begin{cases} s&=9600 \\ a_1&=2000 \\ a_2&=2000 \\ a_3&=2000 \\ a_4&=2000 \\ a_5&=1000 \\ a_6&=1000 \end{cases}$$
将(3.3)代入(2.2)可以得到月息 $r_m=1.332664497160 \%$, 年息为 $r_y=17.217795276054 \%$。

4 使用
对于上面的模型, 可以使用MathSword提供的LendingRate函数进行利率反算，也可以使用内置的贷款工具箱进行快速计算。