2022年10月 – MathSword数值计算软件

SE3在2D平面上的约束

2022年10月31日2022年11月1日 shikang999 评论

1 问题
有时，我们需要将一个3D空间的SE3变量映射到指定的2D平面，然后再加以求解。

为了方便说明，这里假设一个SE3的表现形式为$T$, 假设$T$ 以如下值来表示

(1)
$$
T_1 =\begin{bmatrix}
-0.69492055764131 & 0.71352099052778 & 0.08929285886191 & 4
\\
-0.19200697279199 & -0.30378504433947 & 0.93319235382364
& 5
\\
0.69297816774177 & 0.63134969938371 & 0.34810747783026 & 8
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
1.1 x-y平面
为了取出x-y对应的旋转部分分量，这里定义如下变换矩阵
(2)
$$
T_{xy1} =\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
则经过 $T_{xy1}TT_{xy1}$可以取到$T$中2*2旋转部分，执行后得到类似如下结果
(3)
$$
T_{xy1}TT_{xy1} =\begin{bmatrix}
-0.69492055764131 & 0.71352099052778 & 0 & 0
\\
-0.19200697279199 & -0.30378504433947 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
为了取出x-y偏移部分，这里定义如下矩阵
(4)
$$
T_2 =\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
则经过 $T_{xy1}TT_2$可以取到$T$中2*1偏移部分，执行后得到类似如下结果
(5)
$$
T_{xy1}TT_2 =\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 4
\\
0 & 0 & 0 & 5
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

这里定义矩阵
(6)
$$
\begin{aligned}
T_{xy3}=T_{xy1}+T_2&=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\\
\\
T_{xy4} &=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
最终可以按如下方式得到我们想要的矩阵
(7)
$$
T_{xy}'=T_{xy1}TT_{xy3}+T_{xy4}=\begin{bmatrix}
-0.69492055764131 & 0.71352099052778 & 0 & 4
\\
-0.19200697279199 & -0.30378504433947 & 0
& 5
\\
0 & 0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
因此，对于一个SE3$T$，通过公式(7)取出了x-y平面的变换量。

同样，对于一个3D点$\mathbf{p}$可以通过如下变换矩阵得到x-y部分分量。
(8)
$$
\mathbf{p}'_{xy} = T_{xy1}\mathbf{p}+\mathbf{c}
$$

上面的向量$\mathbf{c}$为如下向量

(9)

$$
\mathbf{c} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}
$$

1.2 x-z平面
为了取出x-z对应的旋转部分分量，这里定义如下变换矩阵
(10)
$$
T_{xz1} =\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
则经过 $T_{xz1}TT_{xz1}$可以取到$T$中2*2旋转部分，执行后得到类似如下结果
(11)
$$
T_{xz1}TT_{xz1} =\begin{bmatrix}
-0.69492055764131 & 0 & 0.08929285886191 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0.69297816774177 & 0 & 0.34810747783026 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0 &
\end{bmatrix}
$$
则经过 $T_{xz1}TT_2$可以取到T中2*1偏移部分，执行后得到类似如下结果
(12)
$$
T_{xz1}TT_2 =\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 4
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 8
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

这里定义矩阵
(13)
$$
\begin{aligned}
T_{xz3}=T_{xz1}+T_2&=
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\\
\\
T_{xz4} &=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
最终可以按如下方式得到我们想要的矩阵
(14)
$$
T_{xz}'=T_{xz1}TT_{xz3}+T_{xz4}=\begin{bmatrix}
-0.69492055764131 & 0 & 0.08929285886191 & 4
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0.69297816774177 & 0 & 0.34810747783026 & 8
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
因此，对于一个SE3$T$，通过公式(13)取出了x-z平面的变换量。

同样，对于一个3D点$\mathbf{p}$可以通过如下变换矩阵得到x-z部分分量。
(15)
$$
\mathbf{p}'_{xz} = T_{xz1}\mathbf{p}+\mathbf{c}
$$

1.3 y-z平面
为了取出y-z对应的旋转部分分量，这里定义如下变换矩阵
(16)
$$
T_{xz1} =\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
则经过 $T_{yz1}TT_{yz1}$可以取到$T$中2*2旋转部分，执行后得到类似如下结果
(17)
$$
T_{yz1}TT_{yz1} =\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & -0.30378504433947 & 0.93319235382364 & 0
\\
0 & 0.63134969938371 & 0.34810747783026 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
则经过 $T_{yz1}TT_2$可以取到$T$中2*1偏移部分，执行后得到类似如下结果
(18)
$$
T_{yz1}TT_2 =\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
\\0 & 0 & 0 & 5
\\0 & 0 & 0 & 8
\\0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

这里定义矩阵
(19)
$$
\begin{aligned}
T_{yz3}=T_{yz1}+T_2&=
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 1 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 1 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\\
\\
T_{yz4} &=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 0
\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
最终可以按如下方式得到我们想要的矩阵
(20)
$$
T_{yz}'=T_{yz1}TT_{yz3}+T_{yz4}=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\\ 0 & -0.30378504433947 & 0.93319235382364 & 5
\\ 0 & 0.63134969938371 & 0.34810747783026 & 8
\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
因此，对于一个SE3$T$，通过公式(19)取出了y-z平面的变换量。

同样，对于一个3D点$\mathbf{p}$可以通过如下变换矩阵得到y-z部分分量。
(21)
$$
\mathbf{p}'_{yz} = T_{yz1}\mathbf{p}+\mathbf{c}
$$

2 结论
1. 对于x-y平面映射，位姿或者变换矩阵使用公式(7)进行转换、空间点使用(8)进行转换。
2. 对于x-z平面映射，位姿或者变换矩阵使用公式(13)进行转换、空间点使用(14)进行转换。
3. 对于y-z平面映射，位姿或者变换矩阵使用公式(19)进行转换、空间点使用(20)进行转换。

3 案例
3.1 问题
空间中有一个射线A(其表示位姿为$T_A$)、与射线B(其表示位姿为$T_B$)，将射线A通过某个变换$T$可以使得射线A与射线B在x-y平面完全重合。现在想建立$T_A$、$T_B$，以及变换$T$的关系式。

3.2 求解
实际可以使用如下公式构建求解目标
(22)
$$
F=T_{xy1}(T_AT^{-1}-T_B)T_{xy3}=\mathbf{0}_{4\times4}
$$
为了方便李代数计算，分别取出第1、2、4列数据作为误差项，使用如下方式等效(21)的方程
(23)
$$
\begin{cases}
\mathbf{e}_1=F\mathbf{a}=T_{xy1}(T_AT^{-1}-T_B)T_{xy3}\mathbf{a}=\mathbf{0}
\\
\mathbf{e}_2=F\mathbf{b}=T_{xy1}(T_AT^{-1}-T_B)T_{xy3}\mathbf{b}=\mathbf{0}
\\
\mathbf{e}_3=F\mathbf{c}=T_{xy1}(T_AT^{-1}-T_B)T_{xy3}\mathbf{c}=\mathbf{0}
\end{cases}
$$
或者取出第1、2行数据作为误差项，使用如下方式等效(22)的方程
(24)
$$
\begin{cases}
\mathbf{e}_1=F^T\mathbf{a}=T_{xy3}^T((T^{-1})^T T_A^T-T_B^T)T_{xy1}^T\mathbf{a}=\mathbf{0}
\\
\mathbf{e}_2=F^T\mathbf{b}=T_{xy3}^T((T^{-1})^TT_A^T-T_B^T)T_{xy1}^T\mathbf{b}=\mathbf{0}
\end{cases}
$$

上面的$\mathbf{a},\mathbf{b}$定义如下
(25)
$$
\mathbf{a}=[1,0,0,0]^T
\\
\mathbf{b}=[0,1,0,0]^T
$$
因此最终可以使用(23)或(24)算式来进行求解。

空间直线匹配建立相关约束

2022年10月28日2022年11月18日 shikang999 评论

1 空间中两条直线匹配建立关系
现在已知空间直线A方程为
(1)
$$
\mathbf{p}_1 = \mathbf{n}_1\alpha + \mathbf{p}_1'
$$

现在已知空间直线B方程为
(2)
$$
\mathbf{p}_2 = \mathbf{n}_2\beta + \mathbf{p}_2'
$$

上面公式中$\mathbf{n}_1$为直线A单位方向向量，$\mathbf{n}_2$为直线B单位方向向量。现在将直线A进行($R,\mathbf{t}$)变换后，能与直线B完全重合。现在想建立直线A、B、以及($R,\mathbf{t}$)的关系。

构建关系有多种方式，比如将线上变换后的点到目标线的距离作为约束；另一种法方式是将变换后的点投到目标线参数方程上, 如果点在线上，则满足参数方程约束。本文建立关系则基于后一种方式。

1.1 考虑方向向量匹配
有时，我们能够确定直线A与直线B在A通过($R,\mathbf{t}$)变换后,其变换后的直线与直线B完全重合,并且表示直线的单位方向向量也完全重合, 则这时必有如下关系成立
(3)
$$
\mathbf{n}_2 = R\mathbf{n}_1
$$
根据直线变换后完全重合的条件有
(4)
$$
\begin{aligned}
R\mathbf{p}_1+\mathbf{t}&= R(\mathbf{n}_1\alpha + \mathbf{p}_1')+\mathbf{t}
\\
&=\mathbf{p}_2
\\
&= \mathbf{n}_2\beta + \mathbf{p}_2'
\\
&= R\mathbf{n}_1\beta+\mathbf{p}_2'
\\
&\Downarrow
\\
R\mathbf{n}_1(\beta-\alpha)&=R\mathbf{p}_1'+\mathbf{t} – \mathbf{p}_2'
\\
&\Downarrow
\\
(\beta-\alpha)\mathbf{a} &= \mathbf{b}
\end{aligned}
$$
上面的中间变量$\mathbf{a}$与 $\mathbf{b}$定义如下
(5)
$$
\begin{aligned}
\mathbf{a} &= R \mathbf{n}_1
\\
\mathbf{b} &= R\mathbf{p}_1'+\mathbf{t} – \mathbf{p}_2'
\end{aligned}
$$
在公式(4)中，任意取一个$\beta$均有一个唯一对应的$\alpha$.即个$\beta-\alpha$为一个常量,由于个$\beta$的任意性,很明显个$\mathbf{a}$与个$\mathbf{b}$满足如下关系
(6)
$$
\dfrac{1}{|\mathbf{a}|}\mathbf{a}=\dfrac{1}{|\mathbf{b}|}\mathbf{b}
$$
虽然上面公式(6)可以直接构建约束,但由于涉及到向量取模,一种等效的方式是使用如下方程来约束
(7)
$$
\begin{cases}
a_0b_1=a_1b_0
\\
a_0b_2=a_2b_0
\\
a_1b_2=a_2b_1
\end{cases}
$$
公式(7)中有效约束实际为2个方程，实际使用时，可以任意选则两个方程进行构建。很明显，公式(7)的计算量比公式(6)小了很多，因此实际情况下可使用公式(7)来构建约束。

另一种方式是使用如下方式构建，针对公式(4)有
(8)
$$\begin{aligned}
R\mathbf{n}_1(\beta-\alpha)&=R\mathbf{p}_1'+\mathbf{t} – \mathbf{p}_2'
\\
&\Downarrow
\\
\mathbf{p}_2'^\wedge R\mathbf{n}_1(\beta-\alpha) &= \mathbf{p}_2'^\wedge (R\mathbf{p}_1'+\mathbf{t})
\\
&\Downarrow
\\
0 = (R\mathbf{n}_1)^T \mathbf{p}_2'^\wedge R\mathbf{n}_1(\beta-\alpha) &= (R\mathbf{n}_1)^T \mathbf{p}_2'^\wedge (R\mathbf{p}_1'+\mathbf{t}) \end{aligned}$$
同理，可以得到如下约束表达式
(9)
$$
\begin{cases}
(R\mathbf{n}_1)^T \mathbf{p}_2'^\wedge (R\mathbf{p}_1'+\mathbf{t}) = 0
\\
(R\mathbf{n}_1)^T \mathbf{t}^\wedge (R\mathbf{p}_1'-\mathbf{p}_2')=0
\end{cases}
$$

因此最终可以使用公式(3)与(7)来构建约束方程或者 (3)与(9)来构建约束方程。

1.2 不考虑方向向量匹配
有的情况下，我们无法保证提供的两个直线方向向量在变换后是否一致，这时，我们基于的理论是：A直线上的点变换后，一定在B直线上。则根据变换条件有
(10)
$$
\begin{aligned}
R\mathbf{p}_1+\mathbf{t}&= R(\mathbf{n}_1\alpha + \mathbf{p}_1')+\mathbf{t}
\\
&=\mathbf{p}_2
\\
&= \mathbf{n}_2\beta + \mathbf{p}_2'
\\
&\Downarrow
\\
\mathbf{n}_2\beta&=\alpha R\mathbf{n}_1+R\mathbf{p}_1'+\mathbf{t} – \mathbf{p}_2'
\\
&\Downarrow
\\
\beta\mathbf{n}_2&=\alpha \mathbf{a} + \mathbf{b}
\\
&\Downarrow
\\
\beta \mathbf{b}^\wedge \mathbf{n}_2 &= \alpha \mathbf{b}^\wedge \mathbf{a}
\\
&\Downarrow
\\
\beta \mathbf{n}_2^T \mathbf{b}^\wedge \mathbf{n}_2 &= \alpha \mathbf{n}_2^T \mathbf{b}^\wedge \mathbf{a}
\\
&\Downarrow
\\
\mathbf{n}_2^T \mathbf{b}^\wedge \mathbf{a} &= 0
\end{aligned}
$$
即从(10)中我们可以得到一个约束
(11)
$$
\mathbf{n}_2^T \mathbf{b}^\wedge \mathbf{a} = 0
$$
虽然(11)算式反应了两条直线匹配的关系，但是还有一个隐藏约束没有用到，即两条直线上的点一一对应。即，每个$\beta$对应着一个唯一的 $\alpha$，上面公式在约去$\beta$的过程中，并没有反映其一一对应性，为了进一步找出约束关系，这里设
(12)
$$
\mathbf{n}_2=\begin{bmatrix}
x
\\
y
\\
z
\end{bmatrix}
$$

1.2.1 消去x
当$\mathbf{n}_2$中绝对值元素最大的值为$x$,则消去(10)中的$\beta$有
(13)
$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
\dfrac{y}{x}
\\
\\
\dfrac{z}{x}
\end{bmatrix}&=
\begin{bmatrix}
\dfrac{\alpha a_1+b_1}{\alpha a_0 + b_0}
\\
\\
\dfrac{\alpha a_2+b_2}{\alpha a_0 + b_0}
\end{bmatrix}
\\
&\Downarrow
\\
&\begin{cases}
\alpha(a_0y-a_1x)+(b_0y-b_1x)=0
\\
\alpha(a_0z-a_2x) +(b_0z-b_2x)=0
\end{cases}
\end{aligned}
$$
由于每个$\beta$对应着唯一的$\alpha$, 当$\beta$取任意值时,$\alpha$也可以看成可取任意值.由于$\beta$取任意值均需要满足上面表达式,则可以得到如下约束方程
(14)
$$
\begin{cases}
a_0y=a_1x
\\
b_0y=b_1x
\\
a_0z=a_2x
\\
b_0z=b_2x
\end{cases}
$$
上面公式中隐含了 $a_0b_1=a_1b_0$与 $a_0b_2=a_2b_0$。因此最终使用(14)算式构建约束。

1.2.2 消去y
当$\mathbf{n}_2$中绝对值元素最大的值为$y$,则消去(10)中的$\beta$有
(15)
$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
\dfrac{x}{y}
\\
\\
\dfrac{z}{y}
\end{bmatrix}&=
\begin{bmatrix}
\dfrac{\alpha a_0+b_0}{\alpha a_1 + b_1}
\\
\\
\dfrac{\alpha a_2+b_2}{\alpha a_1 + b_1}
\end{bmatrix}
\\
&\Downarrow
\\
&\begin{cases}
\alpha(a_1x-a_0y)+(b_1x-b_0y)=0
\\
\alpha(a_1z-a_2y) +(b_1z-b_2y)=0
\end{cases}
\end{aligned}
$$
由于每个$\beta$对应着一个$\alpha$, 当$\beta$取任意值时,$\alpha$也可以看成可取任意值.由于$\beta$取任意值均需要满足上面表达式,则可以得到如下约束方程
(16)
$$
\begin{cases}
a_1x=a_0y
\\
b_1x=b_0y
\\
a_1z=a_2y
\\
b_1z=b_2y
\end{cases}
$$
上面公式中隐含了 $a_0b_1=a_1b_0$与 $a_1b_2=a_2b_1$。因此最终使用(16)算式构建约束。

1.2.3 消去z
当$\mathbf{n}_2$中绝对值元素最大的值为$z$,则消去(10)中的$\beta$有
(17)
$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
\dfrac{x}{z}
\\
\\
\dfrac{y}{z}
\end{bmatrix}&=
\begin{bmatrix}
\dfrac{\alpha a_0+b_0}{\alpha a_2 + b_2}
\\
\\
\dfrac{\alpha a_1+b_1}{\alpha a_2 + b_2}
\end{bmatrix}
\\
&\Downarrow
\\
&\begin{cases}
\alpha(a_2x-a_0z)+(b_2x-b_0z)=0
\\
\alpha(a_2y-a_1z) +(b_2y-b_1z)=0
\end{cases}
\end{aligned}
$$
由于每个$\beta$对应着一个$\alpha$, 当$\beta$取任意值时,$\alpha$也可以看成可取任意值.由于$\beta$取任意值均需要满足上面表达式,则可以得到如下约束方程
(18)
$$
\begin{cases}
a_2x=a_0z
\\
b_2x=b_0z
\\
a_2y=a_1z
\\
b_2y=b_1z
\end{cases}
$$
上面公式中隐含了 $a_0b_2=a_2b_0$与 $a_1b_2=a_2b_1$。因此最终使用(18)算式构建约束。

平面匹配间的变换约束

2022年10月24日2022年10月28日 shikang999 评论

1 约定

这里约定两个同纬度向量矩阵乘之后为1$\times$1大小时为一个数字。

2 空间中两个平面匹配建立关系
在空间中有平面A($\mathbf{n}_1,d_1$)与平面B($\mathbf{n}_2,d_2$)，这里$\mathbf{n}_1$为平面A的单位法向量,$\mathbf{n}_2$为平面B的单位法向量。

现在已知，平面A经过($R,\mathbf{t}$)变换后与平面B完全重合。对于一个平面的方向向量，在经过变换后必然满足如下(1)与(2)之一的关系(可以通过点的变换推导出来)
(1)$$
\mathbf{n}_2=R\mathbf{n}_1
$$
或者
(2)$$
\mathbf{n}_2=-R\mathbf{n}_1$$

现在平面A上取一个点$\mathbf{p}$，则根据A平面方程有
(3)$$
\mathbf{n}_1^T\mathbf{p}+d_1=0
$$
同样地，$\mathbf{p}$经过变换后，必在平面B上，即
(4)$$
\mathbf{n}_2^T(R\mathbf{p}+\mathbf{t})+d_2=0
$$
将(1)(3)代入(4)有
(5)$$
\mathbf{n}_2^T\mathbf{t}=d_1-d_2
$$
将(2)(3)代入(4)有
(6)$$
\mathbf{n}_2^T\mathbf{t}=-d_1-d_2
$$
因此，对于匹配的两个平面，其相对测量有如下关系

2.1 法向严格一致
如果要求匹配的平面，法向严格一致，则使用如下约束
(7)$$
\begin{aligned}
\mathbf{n}_2&=R\mathbf{n}_1
\\
\mathbf{n}_2^T\mathbf{t}&=d_1-d_2
\end{aligned}$$

2.2 法向严格相反
如果要求匹配的平面，法向严格相反，则使用如下约束
(8)$$
\begin{aligned}
\mathbf{n}_2&=-R\mathbf{n}_1
\\
\mathbf{n}_2^T\mathbf{t}&=-d_1-d_2
\end{aligned}$$

2.3 任意平面匹配
有时，我们构建了平面，提供了平面法向参数，但是我们无法确定两个平面法向的一致性(对于同一个平面，不同使用者构建的平面参数的法向量可能完全相反)，这时我们只要求平面完全重合(即，在一个平面上任意取一点，经过变换后的点位，一定落在另一个平面上)，这时依据此来建立约束。

这里建立约束主要使用下面(15)或(19)或(23)的约束方程来建立。

这里展开公式(4)有
(9)$$
\begin{aligned}
0&=\mathbf{n}_2^T(R\mathbf{p}+\mathbf{t})+d_2
\\
&=(R^T\mathbf{n}_2)^T\mathbf{p}+\mathbf{n}_2^T\mathbf{t}+d_2
\end{aligned}
$$
这里设置如下中间变量
(10)$$
\begin{aligned}
\mathbf{h}&=R^T\mathbf{n}_2
\\
g&=\mathbf{n}_2^T\mathbf{t}+d_2
\\
\mathbf{p}&= \begin{bmatrix}
x
\\
y
\\
z
\end{bmatrix} \\
\mathbf{n}_1&= \begin{bmatrix}
n_{1,0}
\\
n_{1,1}
\\
n_{1,2}
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$
将公式(10)带入(3)(9)有
(11)$$
\begin{cases}
n_{1,0}x+n_{1,1}y+n_{1,2}z+d_1=0
\\
h_0x+h_1y+h_2z+g=0
\end{cases}$$

2.3.1 消去x
如果$n_{1,0}$为向量$\mathbf{n}_1$中的绝对值最大的元素，则在(11)中的约束变为
(12)$$
\begin{cases}
x+a_xy+b_xz+c_x=0
\\
h_0x+h_1y+h_2z+g=0
\end{cases}
$$
上面公式中$a_x$、$b_x$、$c_x$定义如下
(13)$$
\begin{aligned}
a_x &=\dfrac{n_{1,1}}{n_{1,0}}
\\
b_x &=\dfrac{n_{1,2}}{n_{1,0}}
\\
c_x &=\dfrac{d_1}{n_{1,0}}
\end{aligned}
$$
在(12)中消去$x$有
(14)$$
(h_1-h_0a_x)y+(h_2-h_0b_x)z+(g-h_0c_x)=0
$$
由于$y$、$z$取任意值，均满足(14)算式，因此可得到如下约束方程
(15)$$
\begin{cases}
h_1=h_0a_x
\\
h_2=h_0b_x
\\
g=h_0c_x
\end{cases}$$

2.3.2 消去y
如果$n_{1,1}$为向量$\mathbf{n}_1$中的绝对值最大的元素，则在(11)中的约束变为
(16)$$
\begin{cases}
a_yx+y+b_yz+c_y=0
\\
h_0x+h_1y+h_2z+g=0
\end{cases}
$$
上面公式中$a_y$、$b_y$、$c_y$定义如下
(17)$$
\begin{aligned}
a_y &=\dfrac{n_{1,0}}{n_{1,1}}
\\
b_y &=\dfrac{n_{1,2}}{n_{1,1}}
\\
c_y &=\dfrac{d_1}{n_{1,1}}
\end{aligned}
$$
在(12)中消去$y$有
(18)$$
(h_0-h_1a_y)x+(h_2-h_1b_y)z+(g-h_1c_y)=0
$$
由于$x$、$z$取任意值，均满足(18)算式，因此可得到如下约束方程
(19)$$
\begin{cases}
h_0=h_1a_y
\\
h_2=h_1b_y
\\
g=h_1c_y
\end{cases}$$

2.3.3 消去z
如果$n_{1,2}$为向量$\mathbf{n}_1$中的绝对值最大的元素，则在(11)中的约束变为
(20)$$
\begin{cases}
a_zx+y+b_zy+c_z=0
\\
h_0x+h_1y+h_2z+g=0
\end{cases}
$$
上面公式中$a_z$、$b_z$、$c_z$定义如下
(21)
$$
\begin{aligned}
a_z &=\dfrac{n_{1,0}}{n_{1,2}}
\\
b_z &=\dfrac{n_{1,1}}{n_{1,2}}
\\
c_z &=\dfrac{d_1}{n_{1,2}}
\end{aligned}
$$
在(12)中消去$z$有
(22)
$$
(h_0-h_2a_z)x+(h_1-h_2b_z)y+(g-h_2c_z)=0
$$
由于$x$、$y$取任意值，均满足(22)算式，因此可得到如下约束方程
(23)$$
\begin{cases}
h_0=h_2a_z
\\
h_1=h_2b_z
\\
g=h_2c_z
\end{cases}$$

PDF页面合并提取小工具

2022年10月11日2022年10月11日 shikang999 评论

1. 背景

有时我们需要提取PDF文件指定页面，有时我们需要将一些PDF文件进行合并。一个比较常见的场景是，某天我们需要将一个扫描文件(图片形式), 将它嵌入或者追加到一个已有PDF文件里，这时就可以使用这个小工具进行处理。

2. 解决

除了商业软件可解决背景里提到的问题外，一些免费的在线PDF工具也提供了类似功能，如果想使用一个免费且又不想文件外流的工具，那就可以使用本页面提供的这个小工具。这个小工具只提供PDF文件的分割以及合并。如果会一点编程知识，使用Python或者其它语言库也能快速解决。这个工具没有多大技术含量，就是调用了PDFSharp提供的几个接口封装而成。

3. 下载

PDF合并提取小工具